最后一个极限了,求方法,该如何处理
最后一个极限了,求方法
lim(x-> ∞)[(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^n,其中a> 0,b> 0
思路:显然[(a^(1/x)+b^(1/x))^2]^n> =(ab)^(1/2)
但是如何证明它[(a^(1/x)+b^(1/x))^2]^n <=(ab)^(1/2)
------解决方案--------------------
书上例题，现在有空，帮你写一下
由lim(n-> ∞)(1+1/n)^n = e
令(a^(1/n)+b^(1/n))/2 = M
原式=M^n={[1+(M-1)]^[1/(M-1)]}^[(M-1)*n]
=e^[(M-1)*n]=e^[n*(a^(1/n)-1)/2 + n*(b^(1/n)-1)/2]
因为lim(n-> ∞)[a^(1/n)-1]/(1/n) = lim(x-> 0)(a^x-1)/x = lna
原式=e^[(lna+lnb)/2]=e^[ln(ab)/2]=(ab)^(1/2)
lim(x-> ∞)[(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^n,其中a> 0,b> 0
思路:显然[(a^(1/x)+b^(1/x))^2]^n> =(ab)^(1/2)
但是如何证明它[(a^(1/x)+b^(1/x))^2]^n <=(ab)^(1/2)
------解决方案--------------------
书上例题，现在有空，帮你写一下
由lim(n-> ∞)(1+1/n)^n = e
令(a^(1/n)+b^(1/n))/2 = M
原式=M^n={[1+(M-1)]^[1/(M-1)]}^[(M-1)*n]
=e^[(M-1)*n]=e^[n*(a^(1/n)-1)/2 + n*(b^(1/n)-1)/2]
因为lim(n-> ∞)[a^(1/n)-1]/(1/n) = lim(x-> 0)(a^x-1)/x = lna
原式=e^[(lna+lnb)/2]=e^[ln(ab)/2]=(ab)^(1/2)