算法学习 - 快速幂和矩阵快速幂（复杂度Olog(n)）C++实现

快速幂

快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

快速幂实现原理

快速幂的原理比较好懂，就是说假如我们求的是3^11，其实比较通用的办法就是

for 1:11
a*=3;

时间复杂度为O(n), 那么我们有没有更快的办法呢？ 有的~就是下面要说的快速幂。
快速幂就是把指数进行一次log(N)级别的变换。11 = 2^3+2^1+2^0
那么我只需要算3^1和3^2还有3^8这样复杂度就降下来了。算3^1需要一次记为a,把a平方就是3^2记为b，把b平方就是3^4记为c,再平方就是3^8记为d，这样把a b d乘以之后就是结果了。这样速度就快起来了~

快速幂代码

代码如下：
这个代码因为比较简单，所以很容易懂，下面的矩阵快速幂是我自己写的，可能会比较难~

int pow3(int a,int b)
{
    int ans = 1,base = a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1)
            ans *= base;
        base *= base;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

矩阵快速幂

矩阵快速幂是个很好玩的东西~ 为啥捏？ 因为它能在Olog(N)级别的时间求的第N个斐波纳挈数列~叼不叼~（什么？你不知道什么是斐波纳挈。请百度~1 1 2 3 5 8...数列）

实现原理

那是怎么实现呢？首先我们设立ans矩阵{1, 1; 1, 0}.然后这个矩阵就是类似上面的3这个底数，然后直接矩阵相乘就可以了。

斐波纳挈数列是F(n) = F(n-1) + F(n-2),下面的代码是难一点的，F(n) = a*F(n-1) + b*F(n-2)这个数列的，F(1) = F(2) = 1.

实现代码

代码如下：

//
//  main.cpp
//  numberSequence_hdu
//
//  Created by Alps on 14/12/22.
//  Copyright (c) 2014年 chen. All rights reserved.
//

#include <iostream>
using namespace std;



void multiMatrix(int ma[][2],int a, int b){
    int i,j;
    int cp[2][2] = {0,0,0,0};;
    for (i = 0; i < 2; i++) {
        for (j = 0; j < 2; j++) {
            cp[i][j] = ((ma[i][0]*ma[0][j])%7 + (ma[i][1]*ma[1][j])%7)%7;
//            printf("%d ",cp[i][j]);
        }
//        printf("\n");
    }
    for (i = 0; i < 2; i++) {
        for (j = 0; j < 2; j++) {
            ma[i][j] = cp[i][j];
        }
    }
}

void multiDoubleMatrix(int cp[][2], int ma[][2], int a, int b){
    int temp[2][2];
    int i,j;
    for (i = 0; i < 2; i++) {
        for (j = 0; j < 2; j++) {
            temp[i][j] = ((cp[i][0]*ma[0][j])%7 + (cp[i][1]*ma[1][j])%7)%7;
        }
    }
    for (i = 0; i < 2; i++) {
        for (j = 0; j < 2; j++) {
            cp[i][j] = temp[i][j];
        }
    }
}

int calculate(int ma[][2], int a, int b, int c){
    if (c <= 0) {
        return 1;
    }
    int cp[2][2] = {1,0,0,1};
    while (c) {
        if (c&1) {
            multiDoubleMatrix(cp, ma, a, b);
        }
        multiMatrix(ma, a, b);
        c = c>>1;
    }
    return (cp[0][0]+cp[0][1])%7;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int a,b,c;
    while (1) {
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        int ma[][2] = {a%7,b%7,1,0};
//        printf("%d %d %d %d\n",ma[0][0],ma[0][1],ma[1][0],ma[1][1]);
        if (a == 0 && b == 0 && c == 0) {
            break;
        }
        printf("%d\n",calculate(ma, a, b, c-2));
    }
    
    return 0;
}